Энциклопедия финансового риск-менеджмента - стр. 31

P_>ij – это вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение X_>i, а случайная величина η – значение Y_>j, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем

Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как

Дискретные случайные величины ξ и η называются независимыми, если

Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:

Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ξ и η определяется равенством

Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ξ и η определяется следующим образом:

Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.

Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин ξ и η приведено в таблице:

Распределение вероятностей случайных величин ξ,η и ξη имеет следующий вид:

Ковариация и корреляция между случайными величинами ξ и η находятся следующим образом:

Случайная величина ξ называется [абсолютно] непрерывной (continuous random variable), если существует неотрицательная функция p_>ξ(x), такая, что

где F_>ξ (x) – функция распределения вероятностей случайной величины ξ.

Функция p_>ξ(x), удовлетворяющая условию (1.50), называется плотностью распределения вероятностей (probability density function – PDF) случайной величины ξ.

Равенство (1.50) означает, что заштрихованная площадь на рис. 1.18 под графиком плотности распределения равна вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше х.

1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение между х_>1 и x_>2 (x_>1 < x_>2), совпадает с заштрихованной площадью на рис. 1.19.

2. Если p_>ξ(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины, то

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина ξ принимает то или иное значение, всегда равна нулю, т. е. P{ξ = x} = 0.

4. Производная функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины равна плотности распределения вероятностей этой случайной величины, т. е.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины ξ могут быть найдены следующим образом:

где P_>ξ(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Стандартное отклонение случайной величины определяется обычно как:

Если f(t) – некоторая непрерывная функция, а ξ – непрерывная случайная величина, то

Пример 1.50. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [a, b], если

Функцию распределения случайной величины ξ можно найти следующим образом:

Таким образом,

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ можно найти следующим образом:

Пример 1.51. Случайная величина ξ распределена показательно, если

Асимметрией (skewness) распределения вероятностей случайной величины ξ называется число

Если a(ξ) = 0, то плотность распределения вероятностей случайной величины ξ симметрична относительно математического ожидания этой случайной величины (рис. 1.20).

При положительной (правосторонней) асимметрии распределения правая ветвь (tail) плотности распределения вероятностей случайной величины «длиннее» левой ветви. Соответственно, при отрицательной (левосторонней) асимметрии правая ветвь плотности распределения вероятностей случайной величины будет «короче» левой ветви (рис. 1.21 и 1.22).