Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - стр. 4
Третье действие, не выводящее за рамки натуральных чисел, – это возведение в степень, которое в свою очередь представляет собой многократное умножение одинаковых множителей: 4>3=4·4·4.
Таким образом, в основе сложения стоит неоднократное прибавление единицы, в основе умножения стоит неоднократное сложение, а в основе возведения в степень – неоднократное умножение, поднимая каждый раз предыдущее действие на новую ступень.
3>2=3·3=3+3+3=3+1+1+1+1+1+1.
Эти действия можно считать основными, хотя исторически, после сложения, скорее всего, появилось вычитание, как действие обратное сложению. Но вычитание не замкнуто на множестве натуральных чисел, вычитать здесь можно только из большего числа меньшее число. Даже вычитание равных чисел выводит нас из множества натуральных чисел, среди которых нет нуля. Ноль не является натуральным числом, и ноль не может стоять первой цифрой в записи натурального числа. Даже если его там искусственно поставить, он будет незначащей цифрой.
В связи ограничениями, накладываемыми на вычитание чисел, необходимо ввести действия сравнения чисел между собой, чтобы иметь возможность определить, выполнимо ли вычитание для определенной пары взятых чисел. Учитывая упорядоченность натурального ряда чисел по возрастанию, для любой пары чисел a и b можно сделать одно из трех заключений: a<b, a>b, a=b.
Действие, с которым больше всего проблем на множестве натуральных чисел – это действие деления натуральных чисел, так как выполнимо оно не всегда, и определение возможности деления одного числа на другое не выходя за рамки натуральных чисел, не такое простое действие как для вычитания. Существует целый ряд признаков делимости, которые позволяют, не выполняя само деление, дать ответ возможно ли деление без остатка в принципе. Основные признаки делимости рассмотрим в разделе упражнений с натуральными числами.
Вернемся к единице. Единица единственное из натуральных чисел, которое порождает новые натуральные числа только при сложении, но не при умножении или возведении в степень. При умножении на единицу нового числа не получается, единица в любой степени остается единицей! У древних греков единица служила основой всех других натуральных чисел и с этим не поспоришь. Прибавление единицы к числу меняло его четность. Изменение четности числа от прибавления единицы можно посмотреть в одном очень интересном алгоритме. Алгоритм, позволяет за конечное число шагов-операций превратить любое натуральное число в единицу. Назовем его Алгоритм возвращения к началу. Алгоритм циклический, шаги повторяются до получения единицы. Берем произвольное натуральное число.
Шаг 1. Если взятое число четное, нужно разделить его на 2. Если число нечетное, перейти к шагу 2.
Шаг 2. Если число нечетное, нужно умножить его на 3 и прибавить 1. После чего перейти к шагу 3.
Шаг 3. Вернуться в начало алгоритма и повторять вышеописанные действия циклически, пока не получится единица.
Как видите, второй шаг превращает нечетное число в четное число в результате прибавления единицы. Возьмем произвольное двузначное число, например, 53. Число нечетное – выполняем шаг 2. Получаем 160 – возвращаемся и делаем шаг 1, получаем 80, продолжаем 40, 20, 10, 5. Снова шаг 2 – 16. Шаг 1: 8, 4, 2, 1. Казалось бы, при нечетности числа, умножая его на три, алгоритм будет уводить нас к большим числам, но нет, в конечном итоге приходим к единице. Считается, что по этому алгоритму любое число можно вернуть к «неделимой сущности», то есть, к единице. Ни один специалист по теории чисел пока не смог доказать, что такой алгоритм заканчивается единицей для любого первоначально взятого натурального числа. Второй, не выясненный вопрос, связанный с этим алгоритмом: почему для одних чисел последовательность получаемых значений короткая, а для других слишком длинная. Показанная выше последовательность имеет вид: 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Всего 12 чисел, включая начальное число и конечную единицу. Возьмем для примера число 25, значительно меньше 53, и выпишем получаемую последовательность чисел: 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Число меньше, а шагов больше в два раза. Теперь испытаем число 27, недалеко отстоящее от 25: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, … . Честно говоря, мне уже надоело, последовательность получается длинная-длинная. В ней встретится даже четырехзначное число больше девяти тысяч. В конечном итоге она придет к единице, но почему так долго, в чем отличие начальных чисел 25 и 27?