Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - стр. 6
Все перечисленные бинарные операции с натуральными числами известны из программы начальной и средней школы, также, надеюсь, как и свойства этих операций.
Работая с натуральными числами, в особенности с многозначными числами, состоящими из нескольких цифр, часто приходится выполнять с ними операции, которые являются унарными (приставка уно от слова один), то есть операции, выполняемые с одним отдельно взятым числом, а не с парой чисел. Например, признак делимости на 3 определяется так: многозначное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Аналогично, на 9 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 9. Оба раза звучит словесный оборот «сумма цифр данного числа», который для каждого числа однозначно определяет некоторое другое натуральное число. Фактически, это действие можно считать функций, заданной на множестве натуральных чисел, а иначе можно назвать унарной операций. Часто работая с этим понятием, для него почему-то не придумали специального знака. Работая далее с натуральными числами, приходится рассматривать сумму квадратов цифр данного числа или сумму кубов цифр числа, количество делителей числа, сумму всех его делителей или сумму собственных делителей (в которые не входит само число), приходится упорядочивать цифры числа по возрастанию или по убыванию и так далее. Все эти операции применяются к отдельно взятому числу, то есть являются унарными операциями. Для обозначения этих операций математики используют разные знаки, например, для обозначения суммы всех делителей натурального числа Леонард Эйлер ставил перед числом знак интеграла, об этом написал Д. Пойа, который сам использовал обозначение «функция сигма от n» [25]. В разных книгах встречаются и другие попытки обозначения подобных операций. Или же для них сохраняются словесные формулировки. Это привело меня к мысли ввести для этих унарных операций специальные, различные, но однотипные, обозначения.
Если рассматривать знаки бинарных операций (кроме возведения в степень и обратных к нему), то знак действия ставится между двумя числами. Для унарной операции это не подойдет, число одно. Не поставишь знак и справа от числа, там будет стоять знак равенства, справа от числа и выше ставится показатель степени, справа и ниже ставится индекс числа. Выход один, навеянный физиками:
Свободна левая сторона числа. Предлагаю ввести новую группу знаков для обозначения унарных математических операций с натуральными числами. Например, ставим знак плюс слева и снизу от числа для обозначения суммы цифр числа, получаем запись:
>+n – сумма цифр данного натурального числа, например, >+56235=5+6+2+3+5=21.
Далее вводим обозначения других унарных операций по аналогии с первой операцией:
>+>2n – сумма квадратов цифр данного натурального числа,
>+>2562=5>2+6>2+2>2=25+36+4=65;
>+>3n – сумма кубов цифр данного натурального числа,
>+>3235=2>3+3>3+5>3=8+27+125=160;
>+>dn – сумма всех делителей данного натурального числа,
>+>d12=1+2+3+4+6+12=28;
>+>sn – сумма собственных делителей данного числа,
>+>s6=1+2+3=6;
>q>dn – количество делителей данного числа, >q>d24=8;
>q>sn – количество собственных делителей числа, >q>s30=7;
>вn – упорядочение цифр данного числа по возрастанию,
>в4723=2347;
>уn – упорядочение цифр данного числа по убыванию,
>у4723=7432;
>хn – произведение цифр данного числа,