Как не ошибаться. Сила математического мышления - стр. 20
А если мы взяли бы катеты длиной 12 единиц, длина гипотенузы была бы равна почти 17 единиц, но все же немного короче, поскольку 12>2 плюс 12>2 равно 288, что незначительно меньше чем 17>2, равное 289.
Примерно в V столетии до нашей эры один из представителей пифагорейской школы сделал потрясающее открытие: не существует способа измерить равнобедренный прямоугольный треугольник таким образом, чтобы длина каждой его стороны представляла собой целое число. Современный человек сказал бы, что «квадратный корень из 2 – это иррациональное число», то есть число, которое нельзя представить в виде соотношения двух целых чисел. Но пифагорейцы так не говорили. Разве могли они сказать нечто подобное? В основе их представлений о количестве лежала идея о соотношении целых чисел. Следовательно, в их понимании длина гипотенузы, как оказалось, вообще не есть число.
Это повлекло за собой неразбериху. Вы наверняка помните, что пифагорейцы были крайне своеобразными людьми. Их философия представляла собой рагу из суждений, часть которых мы назвали бы математикой, часть – религией и оставшуюся часть – психическим расстройством. Пифагорейцы были убеждены, что нечетные числа символизируют добро, тогда как четные – зло, что по ту сторону Солнца находится планета Антихтон (Антиземля, Противоземля), а также что нельзя есть бобы, как писали некоторые, потому, что в них находятся души умерших. Ходили слухи, будто Пифагор разговаривал с домашним скотом (он велел животным не есть бобы), а также что он был одним из немногих древних греков, носивших штаны[56][57].
Математика пифагорейцев была неразрывно связана с их идеологией. Легенда (которая, возможно, не совсем соответствует действительности, но дает правильное представление о пифагорейском стиле) гласит, что первым пифагорейцем, открывшим иррациональность квадратного корня из 2, был человек по имени Гиппас; в награду за доказательство этой отвратительной теоремы соратники бросили его в море, где он и утонул.
Но теорему не утопишь. Преемники пифагорейцев, такие как Евклид и Архимед, понимали, что нужно просто закатать рукава и начать все измерять, даже если придется ради этого выйти за пределы высокой стены, окружавшей цветущий сад целых чисел, столь милый их сердцу. Никто не знал, можно ли выразить площадь круга с помощью одних только целых чисел[58]. Однако колеса необходимо строить, а силосные башни заполнять[59], а значит, такие измерения должны быть выполнены.
Первоначальную идею предложил Евдокс Книдский, а Евклид включил ее в 12-ю книгу «Начал». Однако именно Архимед довел их дело до конца. В наши дни мы называем этот подход методом исчерпывания. А начинается он вот с чего.
Изображенный на этом рисунке квадрат называется «вписанный квадрат»: каждый его угол только касается окружности, но не выходит за ее границы. Зачем это делать? Потому что круг – нечто загадочное и пугающее, тогда как с квадратом все просто и ясно. Если у вас есть квадрат, длина стороны которого равна Х, его площадь равна Х умножить на Х – именно поэтому мы и называем умножение числа на самого себя возведением в квадрат! Основное правило математической жизни гласит: если мироздание ставит перед вами сложную задачу, попытайтесь решить вместо нее более простую – с расчетом на то, что упрощенный вариант окажется настолько близким к первоначальной версии, что мироздание не станет возражать против такого решения.