Как не ошибаться. Сила математического мышления - стр. 19
С кривой Лаффера все в порядке, не совсем хорошо обстоит дело с тем, как ее используют. Последовавшие за дудочкой Ванниски политики стали жертвой старейшего ложного силлогизма, присутствующего в его книге:
Вполне возможно, что снижение налогов приведет к увеличению объема государственных доходов.
Мне хотелось бы, чтобы снижение налогов привело к увеличению объема государственных доходов.
Таким образом, это именно тот случай, когда снижение налогов приведет к увеличению объема государственных доходов[53].
Глава вторая. Локально прямая, глобально кривая
Наверное, вы не думаете, что вам нужен профессиональный математик, который объяснит, что не все линии прямые. Однако линейные рассуждения присутствуют повсюду. Вы прибегаете к ним каждый раз, когда утверждаете, что если хорошо иметь нечто, то лучше иметь этого еще больше. Именно так рассуждают политические крикуны: «Вы поддерживаете военные действия против Ирана? Тогда, полагаю, вы предпочли бы осуществить сухопутную операцию против любой страны, которая лишь косо посмотрит в нашу сторону!» В то же время звучит и такое: «Хотите поддерживать взаимодействие с Ираном? Наверное, вы также считаете, что и Адольфа Гитлера просто неправильно поняли».
Почему такие рассуждения столь распространенны? Ведь даже малейшее умственное усилие с нашей стороны позволит осознать их ошибочность. Почему вообще у кого бы то ни было может хотя бы на мгновение возникнуть мысль, что все линии прямые, когда совершенно очевидно обратное?
Одна из причин заключается в следующем: в каком-то смысле они действительно прямые. История эта начинается с Архимеда.
Метод исчерпывания
Чему равна площадь данного круга?
В современном мире это настолько стандартная задача, что ее можно включать в SAT[54]. Площадь круга равна πr>2, а в нашем случае радиус равен 1, значит, площадь этого круга равна π. Однако две тысячи лет назад вопрос был открытым и настолько важным, что привлек внимание Архимеда.
Почему вопрос площади окружности оказался настолько сложным? Во-первых, на самом деле древние греки не считали π числом, как считаем мы. В их понимании все числа были целыми, то есть такими, с помощью которых можно что-то подсчитать: 1, 2, 3, 4… Однако теорема Пифагора[55] – первый большой прорыв в древнегреческой геометрии – превратила всю их систему счисления в руины.
Перейдем к следующему рисунку.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы (сторона прямоугольного треугольника, которая нарисована здесь по диагонали и не проходит через прямой угол) равен сумме квадратов двух других сторон, или катетов. В данном примере квадрат гипотенузы равен 1>2 + 1>2 = 1 + 1 = 2. Это означает, что гипотенуза длиннее 1, но короче 2. Проверяется без всяких теорем – просто на глаз. Сам факт, что длина гипотенузы не представляет собой целое число, не был проблемой для древних греков. Может быть, мы просто измеряли все не в тех единицах. Если мы выберем такую единицу длины, чтобы длина катетов была равна 5 единицам, тогда вы с помощью линейки легко проверите, что в таком случае длина гипотенузы составит почти 7 единиц. Почти – но все-таки немного больше, поскольку квадрат гипотенузы равен:
5>2 + 5>2 = 25 + 25 = 50,
но если длина гипотенузы составляла бы 7 единиц, квадрат гипотенузы был бы равен 49.