Энциклопедия финансового риск-менеджмента - стр. 35

Если годовая волатильность доходности достаточно мала, то можно считать, что доходность финансового инструмента через год распределена приблизительно нормально с параметрами r и rσгод.

Пример 1.62. Текущая доходность 10-летних казначейских облигаций с нулевым купоном равна 8 %, а годовая волатильность этой доходности равна 15 %.

Можно предположить, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами через год будет приблизительно распределена нормально с ожидаемым значением 0,08 и стандартным отклонением 0,08-0,15 = 0,012. Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 95,5 % доходность через год окажется между 0,08-2 • 0,012 = 0,056 и 0,08 + 2 • 0,012 = 0,104, т. е. будет принимать значение между 5,60 и 10,40 %.

Во многих случаях требуется установить зависимость между двумя случайными величинами. Чаще всего предполагается линейная зависимость. Например, при обмене облигаций использовалась линейная зависимость между изменениями доходностей двух облигаций.

Рассмотрим две случайные величины ξ и η и предположим, что когда случайная величина ξ принимает значения X_>1, X_>2…., X_>n, то случайная величина η принимает соответственно значения Y_>1, Y_>2…., Y_>n.

Линейной регрессионной моделью называют уравнение следующего вида:

При построении линейной регрессионной модели коэффициенты а и b необходимо подобрать так, чтобы влияние случайной погрешности ξ на случайную величину η было как можно меньше.

Из уравнения (1.64) следует, в частности, что

Коэффициенты регрессии а и b чаще всего подбираются методом наименьших квадратов (least squares), который сводится к отысканию значений а и b так, чтобы достигалось наименьшее значение функции

Нетрудно проверить, что наименьшее значение функции (1.65) достигается при

При выборе коэффициентов регрессии указанным выше способом будут выполняться следующие соотношения:

Пример 1.63. Построение линейной регрессионной зависимости доходности среднесрочных корпоративных облигаций одного и того же кредитного рейтинга (η) от доходности 10-летних казначейских облигаций (ξ). Исходная информация и предварительные расчеты приведены в таблице ниже.

Коэффициенты регрессии находят следующим образом:

Уравнение регрессии в данном случае имеет вид:

Из соотношения (1.66) следует, что

Отношение суммы квадратов, объясняемой регрессией, к полной сумме квадратов называют коэффициентом детерминации и обозначают R^>2. Таким образом,

Коэффициент детерминации всегда находится между 0 и 1, причем чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем выше качество регрессионной модели.

Пример 1.64. Оценим качество регрессионной модели, построенной в примере 1.63.

В данном случае коэффициент детерминации может быть найден следующим образом:

Так как коэффициент детерминации очень близок к единице, то качество регрессионной модели достаточно высокое.

Оценка коэффициентов регрессии получена нами в зависимости от выборки значений X_>1, X_>2…., X_>n независимой случайной величины ξ и соответствующих им значений зависимой случайной величины η. Для другой выборки значений случайной величины ξ будут получены, вообще говоря, другие оценки коэффициентов регрессии и другая случайная погрешность. В связи с этим возникает задача построения доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.