Правила счета элементов бесконечного множества - стр. 5

Как утверждается со ссылкой на методологию счета Кантора, множество всех действительных чисел несчетно, то есть, невозможно их пересчитать, присвоив каждому из них некоторое натуральное число – номер, поскольку всегда останутся непронумерованные числа [3, с.73-74]. Вообще-то, на первый взгляд, интуитивно это выглядит вполне очевидно. Рассмотрим, например, следующую явно бесконечную последовательность действительных чисел:

В этих числах запятая просто занимает позицию n, представляющую натуральное число, поэтому чисел в указанной последовательности в точности равно числу строк, n, где n равно бесконечности. Поскольку все номера натуральных чисел использованы для нумерации этих действительных чисел, то очевидно, что остальное множество действительных чисел осталось без номеров, то есть их множество – несчетно. В связи с хитростями нумерации, как правило, вспоминают математика Кантора, который, как считается, доказал, что число точек на отрезке прямой сосчитать никаким способом нельзя. Утверждается, что их нельзя перенумеровать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел, приписывая каждой точке свой номер, в каком бы порядке мы ни выбирали эти точки. Всегда останется хотя бы одна точка, на которую не хватит номера!

Перенумеровать или, тождественно, пересчитать бесконечное количество чего-либо, в том числе, сосчитать точки отрезка, действительно, невозможно физически. Однако приводимое затем доказательство, как правило, начинается со слов: «Представим, что вопреки нашему утверждению кому-то удалось перенумеровать точки этого отрезка», после чего приводятся хитрые комбинации с нумерацией. Но здесь следует напомнить фундаментальный принцип классической логики и классической математики, который постулирует полное отрицание актуальной бесконечности: «Infinitum Actu Non Datur» (Аристотель) – «актуальная бесконечность не существует». Принцип утверждает потенциальный, т.е. принципиально незавершаемый характер бесконечности множества. Актуальная, то есть, пересчитанная бесконечность лишена смысла. Бесконечностью может считаться лишь потенциальная бесконечность, завершить счет членов которой невозможно. Поэтому приводимое доказательство на этих словах можно и прервать – оно некорректно с самого начала. Впрочем, в этом вопросе особое мнение, которое следует признать некорректным, приписывается Давиду Гильберту. По мнению немецкого математика, одного из величайших умов своего времени, главное различие между актуальной и потенциальной бесконечностью заключается в следующем. Потенциально бесконечное есть всегда нечто возрастающее и имеющее пределом бесконечность, тогда как актуальная бесконечность – это завершённое целое, в действительности содержащее бесконечное число предметов [5].

В литературе можно встретить описание довольно интересного способа подсчета количества точек на отрезке линии. Нетрудно догадаться, что в этом примере использованная методика счета ошибочна и ведет к ошибочному выводу. Несложное доказательство несчетности содержит не очень сильно скрытую подмену понятий. Итак:

"Теперь уже несложно доказать, что множество всех точек на прямой линии несчетно. Вместо этого множества можно говорить о множестве всех действительных чисел, так как каждой точке прямой соответствует действительное число и обратно. Каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида α,α