Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - стр. 9
двузначные, состоящие из двух цифр: от 10 до 99 (их девяносто);
трехзначные, от 100 до 999 (их девятьсот) и так далее, с обобщающим прилагательным – многозначные.
Критерий – делимость чисел
Взяв в качестве инструмента для классификации деление чисел, получаем разбиение натуральных чисел на четные и нечетные, простые и составные, избыточные и недостаточные, наконец, совершенные и дружественные.
Поговорим о каждом виде чисел подробнее.
Начнем с четных и нечетных, с ними нет никаких затруднений, они изучаются в школе. Четными называются числа, которые делятся на 2 без остатка: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…. Нечетными называются числа, которые не делятся на 2, а дают остаток 1 при делении на 2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,….
В натуральном ряду чисел идут попеременно нечетное число, четное число, нечетное, четное. При сложении двух четных чисел, получается четное число, при сложении двух нечетных чисел тоже получается четное число: 8+18=26, 9+19=28. Если складывают четное число с нечетным, то получается нечетное число. Если умножаются нечетные числа, то получается число нечетное, а если хотя бы один сомножитель четный, то и всё произведение будет четным. Деление на четные и нечетные числа разбивает множество натуральных чисел на два равных, бесконечных и непересекающиеся подмножества.
По-другому произойдет разбиение натуральных чисел, если ввести более широкое понятие кратность. Натуральное число, которое делится на данное натуральное число без остатка, называется кратным данного числа. Про четные числа можно сказать, что они кратны числу 2.
Далее можно говорить о числах, которые кратны 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …; кратны 4: 4, 8, 12, 16, 20, …; кратны 5: 5, 10, 15, 20, … и так далее. Получаются пересекающиеся подмножества, имеющие общие элементы. Так число 12 кратно 2, 3, 4, 6 и 12. Ему хоть разорвись, но нужно попасть в пять различных подмножеств. В них же попадут числа 24, 48 и другие. Любое натуральное число имеет бесконечно много чисел кратных ему. Наименьшим из кратных некоторого числа является само это число. Например, наименьшее число кратное 7 – это само число 7. Получили еще одно прилагательное для характеристики натуральных чисел – кратное.
Критерии – количество делителей и их суммы
Натуральное число, имеющее ровно два делителя (единицу и само себя), называется простым. Это одно из важнейших подмножеств натуральных чисел. Доказано, что простых чисел бесконечно много, и написано о них бесконечно много, так как они не так уж просты, как их назвали, поэтому о них поговорим чуть позже и отдельно.
Все натуральные числа, кроме единицы и простых, имеют более двух делителей. Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называются составными. В связи с делимостью чисел рассматривают две операции: сумма всех делителей числа >+>dn, включает само это число, и сумма собственных делителей >+>sn, которая рассматривается без самого числа. Например, >+>d12=1+2+3+4+6+12=28; >+>s12=1+2+3+4+6=16.
С помощью суммы собственных делителей числа, все числа делятся на три класса:
если сумма собственных делителей меньше самого числа (>+>sn<n), то число называется недостаточным;
если сумма собственных делителей больше самого числа (>+>sn>n), то число называется