Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - стр. 14
Получение квадратных чисел можно иллюстрировать построением квадратов с последовательным увеличением длины стороны квадрата: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … .
С алгебраической точки зрения они представляют собой квадраты чисел натурального ряда, но могут быть интерпретированы и как результат последовательного суммирования нечетных чисел натурального ряда: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, 1+3+5+7+9=25. Формула для получения n-го квадратного числа P>n>(4)=n>2. Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел: 4=1+3, 9=3+6, 16=6+10, P>n>(4)=P>n>->1>(3)+P>n>(3). До сих пор не доказана гипотеза Лежандра (1808 год): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. Не доказана, но и не опровергнута.
Частным случаем плоских чисел являются прямоугольные числа, являющиеся произведением двух последовательных натуральных чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, … .
Прямоугольные числа представляют собой удвоенные треугольные числа: P>n>(>np>)=n(n-1).
Вернемся к правильным многоугольникам. На очереди пятиугольные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, … .
Формула для получения n-го пятиугольного числа: P>n>(>5)=(n(3n-1))/2.
Далее идут шестиугольные числа: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, ….
Формула для получения n-го шестиугольного числа: P>n>(>6)=2n>2-n. Последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами: P>n>(>6)=P>2>n>->1>(3).
Можно было бы продолжать бесконечно, рассматривая прочие многоугольные плоские фигурные числа, но нужно где-то остановиться. Пусть это будут шестиугольные числа.
Выйдя из плоскости можно рассмотреть трехмерные правильные фигурные числа. Пирамидальные числа возникают при складывании маленьких шаров одинакового диаметра горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Первые из них тетраэдрические числа – это фигурные числа, которые представляют собой пирамиду, сложенную из сфер одного диаметра. Каждый слой в такой пирамиде – треугольное число. Наверху один шар, под ним – 3, под теми – 6 и т. д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, … . Пример нескольких первых тетраэдрических чисел: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, … . Формула для тетраэдрического числа: T>n>(>4)=(n(n+1)(n+2))/6.
Затем к пирамидальным числам отнесем квадратные пирамидальные числа, представляющие собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. И далее, далее … .
Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125… , то есть это просто кубы натуральных чисел.
В любом рассмотренном варианте фигурных чисел возможны продолжения. Некоторые из них мы отнесли во второй уровень классификации и все равно перебрать это многообразие невозможно. Причем, у каждого из этих видов чисел открыты свои свойства, о которых здесь не рассказано. Целью этой книги не является подробное описание свойств всех существующих групп натуральных чисел. Задача ставится иная: легкими штрихами наметить общую картину, заинтересовать читателя, который возможно сам продолжит рассмотрение понравившегося ему класса чисел, и тогда уж изучит все их свойства по другим источникам, а возможно сделает свои открытия. Вот где простор для тематики ученической проектной деятельности. Каждому ученику поручить исследование отдельного вида чисел, их хватит на целый класс.