Квантовый ум. Грань между физикой и психологией - стр. 87

. Число е может использоваться для сокращения длинных тригонометрических выражений, что делает вычисления простыми. Это отчасти связано с той особенностью показательных функций, что для двух углов θ, и θ_>2 мы имеем

отсюда z = R[cos(θ) + isin(θ)] = Re^>iθ.

3. Приведенное выше уравнение z = K[cos(θ) + isin(θ)] = Кei^>θ означает, ни много ни мало, что z имеет периодическое поведение, поскольку при возрастании угла 9 cos(θ) и isin(θ) претерпевают периодические волнообразные изменения. Иными словами, имеются две волны – одна действительная, а другая мнимая, или не совпадающая по фазе с действительной на 900. См. рис. 8.5

Рис. 8.5. Периодическое движение x и у

С показательными функциями (экспонентами) иметь дело легче, чем с синусами и косинусами. Поэтому в физике для представления колебаний постоянно используются комплексные числа в форме ei(θ1+ θ2) ei(θ1+ θ2). Для представления колебаний, которые можно измерять, например качания маятника, используется только действительная часть числа z. Мнимым элементом пренебрегают.Хорошее элементарное обсуждение математики и волн для ученых можно найти в фейнмановских «Лекциях по физике» (том I, гл. 23).Еще один интересный аспект действительных и мнимых чисел состоит в том, что действительный и мнимый аспекты z подобны двум разным измерениям реальности, двигающимся вместе, но не вполне вместе. Вообще, если действительная и мнимая оси вращаются, мы можем видеть, что ось мнимого числа Y всегда отстает от действительной оси X на угол 90°, как показано на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Вращение комплексной плоскости на 90 градусов

По аналогии можно сказать, что воображаемый мир всегда находится в другом измерении по отношению к реальному или, наоборот, что при возрастании 9 оси X и Y выглядят как две волны – одна впереди, а другая чуть позади, – как если бы они были барабанами, звук которых отдается эхом «бум бум», пауза, «бум бум», пауза, «бум бум» и так далее. Две волны, не совпадающие по фазе друг с другом, графически показаны на рисунке выше. Это аналогично ритму музыки на заднем плане нашего переживания.

В одной из последующих глав я покажу, что в квантовой физике периодическое поведение комплексных чисел (волновое уравнение) используется для описания невидимого состояния материальной системы. Состояние физической системы, например маленького шарика, элементарной частицы или человека, в каждой точке пространства и времени может быть представлено комплексным числом.

4. Если мы проводим линию R из центра к точке a + ib, то она выглядит как путь между этим комплексным числом и центром комплексной плоскости. См. рис. 8.7.

Рис. 8.7. Линия R на комплексной плоскости Какова длина R? R представляет собой длинную сторону треугольника с двумя другими сторонами а и b. R – это длинная сторона (гипотенуза), b – вертикальная сторона (катет) и a – горизонтальная сторона (катет).

Рис. 8.8. R – это часть прямоугольного треугольника

Греческий ученый Евклид заимствовал информацию у вавилонян и открыл, как можно было бы измерить R, зная а и b. Оказывается, что если есть две стороны треугольника, которые перпендикулярны друг другу, формула Евклида говорит, что квадрат длинной стороны, R, равен сумме квадратов меньших сторон. То есть

R^>2 = а^>2 + b^>2

это формула Евклида для прямоугольных треугольников