Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - стр. 10
Вместе с тем временнáя стоимость означает существование временнóго распада. Как показано на следующем рисунке, при тех же условиях временнáя стоимость опциона уменьшается при смещении на стандартное отклонение, поскольку выплата становится менее вероятной.
На последнем рисунке видно: когда точки находятся далеко друг от друга (как в ценах опционов), на графике образуется выпуклая линия.
Этот пример объясняет, почему у опциона появляется выпуклость.
Безусловные зависящие от времени нелинейные деривативы
■ Безусловные зависящие от времени нелинейные деривативы представляют собой инструменты, которые имеют выпуклый, вогнутый или смешанный профиль (по отношению к базовому активу), но не являются опционами (т. е. не зависят от наступления условия и предполагают обязательства для обеих сторон).
Например, небезызвестная ставка во второй степени на LIBOR (лондонская межбанковская ставка)[15] является наглядным примером такой выпуклости. Ставка в третьей степени LIBOR будет иметь третью производную (выпуклость кривизны), но данный продукт не получил распространения. Однако, несмотря на схожие с опционами выплаты, эти инструменты не являются опционом, поскольку обе стороны обязаны обмениваться выплатами. Странность данного инструмента заключается в том, что выплаты выпуклые выше определенной точки и вогнутые ниже, или наоборот. Ускорение положительной отдачи, с одной стороны, уравновешивается ускорением отрицательной отдачи – с другой.
Пример. Elevator Bank продает своим клиентам в районе Цинциннати, штат Огайо, финансовую ноту, по которой ее владельцу выплачивается квадрат движения процентной ставки (между началом действия ноты и заданным моментом времени в будущем). Таким образом, клиент, обеспокоенный низкими процентными ставками, получает ускоренную компенсацию против дальнейшего снижения ставки. Нота выглядит как опцион и, являясь (как кажется) трудно хеджируемой, будет продаваться дороже своей «справедливой» стоимости.
Мастер опционов: принцип загрязнения и LIBOR-квадрат
LIBOR-квадрат – это контракт со смешанным профилем выплат (выпуклым в одном интервале и вогнутым в другом). В начальной точке (в момент заключения) он не имеет ни выпуклости, ни вогнутости. Согласно принципу загрязнения, цена контракта должна быть выше, чем его теоретическая стоимость в зонах с длинной гаммой и ниже в зонах с короткой гаммой[16].
По контракту выплачивается:
q(x – x>0)>2, если x > x>0;
– q(x – x>0)>2, если x < x>0,
где q – количество, x>0 – начальная точка, x – текущее значение ставки LIBOR.
Таким образом, его дельта:
2q(x – x>0), если x > x>0;
– 2q(x – x>0), если x < x>0.
А значение гаммы:
2q, если x > x>0;
– 2q, если x < x>0.
На рисунке ниже показан процесс оценки.
Далее при обсуждении торговли опционами мы проясним суть данного явления – покупка и продажа базового актива определяют стоимость любого дериватива в зависимости от его дельта-нейтральной репликации.
Опционы и другие вероятностные контракты
Цена опционов зависит от непредвиденных событий. Им посвящена значительная часть настоящего исследования. Они являются темой этой книги. Своп – это линейный дериватив, а своп, зависящий от пути (path-dependent swap), имеет неопределенный (точно не известный) профиль выплат. В прошлом биржевики определяли эти контракты как инструменты с опциональностью, когда одна сторона имела право выбора, а для другой условия контракта были обязательством.